行政机关不履行或拖延履行法定职责（行政不作为），当事人可以依法采取以下措施：1. **申请行政复议**：根据《行政复议法》，认为行政机关不履行法定职责的，可以向其本级人民政府或者上一级主管部门申请复议，请求责令其履行。复议机关受理后，若认定被申请人有履行职责的义务且无正当理由未履行，可决定其在一定期限内履行。2. **提起行政诉讼**：根据《行政诉讼法》第十二条，申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的，属于行政诉讼受案范围。法院可判决被告在一定期限内履行。3. **向监察机关举报**：对公务员的失职行为，可向监察委员会举报。4. **申请国家赔偿**：若不作为行为给当事人造成损害且依法应承担赔偿责任的，可一并或单独提出行政赔偿请求。关键点在于：当事人需证明自己曾向行政机关提出过申请、该事项属于该机关的法定职责、以及行政机关在法定期限内未履行或无正当理由拖延。